Суббота, 01:15 
Заказ документов

 Заочные научно-практические конференции Всероссийского и международного уровня

+

Одноименные конкурсы с выдачей диплома с призовым местом

1 работа - 3 документа

Публикация в сборнике ISBN, УДК, ББК, СМИ

Весь пакет документов (сертификат, диплом, свидетельство, публикация) 300 руб.!!!

 

 

Произвести заказ документа или задать вопрос можно здесь, оформление 10 минут после ответа оператора!
Главная » »
Главная » Файлы » Публикации педагогов » Математика и геометрия

Методическая разработка по теме: «Решение иррациональных уравнений»
21.07.2013, 23:46
Методическая разработка по теме:
«Решение иррациональных уравнений»
учителя математики: Толкуновой С.С.
Иррациональными называются уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня или под знаком операции возведения в дробную степень.
Иррациональные уравнения занимают большую часть времени в 11 классе, поэтому я решила обратиться к этой теме.
Основными методами решения иррациональных уравнений являются следующие:
метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень;
метод введения новых переменных;
в некоторых случаях оказывается целесообразным применение различных искусственных приемов.
Появление посторонних корней может произойти за счет того, что при возведении обеих частей заданного уравнения f(x) = g(x) в четную степень мы получаем уравнение, являющееся следствием не только этого уравнения, но и уравнения f(x) = - g(x). Действительно, (g(x))2 = (-g(x))2.
Если уравнение f(x) = - g(x) имеет корни, то именно они являются посторонними корнями заданного уравнения f(x) = g(x). Так, если заданным уравнением является уравнение х – 1 = 3, то при возведении обеих частей уравнения х – 1 = 3 в квадрат мы получаем уравнение:
(х – 1)2 = 32, т.е. х2 – 2х 8 = 0,
корнями которого являются и корень заданного уравнения х = 4, и значение х = - 2, являющееся корнем уравнения х – 1 = - 3, но не удовлетворяющее заданному уравнению.
Отмечу еще, что уравнения f(x) = g(x) и f(x) = - g(x) имеют одну и ту же область определения. Поэтому, решив заданное уравнение методом возведения обеих его частей в четную степень и даже убедившись затем, что найденный корень х = х0 принадлежит его области определения, еще нельзя утверждать, что х = х0 является корнем заданного уравнения. Однако если х = х0 не принадлежит области определения заданного уравнения, то это точно посторонний корень, который получен за счет расширения области определения заданного уравнения в результате использования формулы (√(2n&f(x))^2n ) = f(x).
Причиной появления посторонних корней могут быть также некоторые замены, выполняемые в ходе решения иррационального уравнения.
Еще раз назову основные причины появления посторонних корней при решении иррациональных уравнений (возведение обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень, расширение области определения и др.). По этим причинам необходимой частью решения иррационального уравнения является проверка.
В зависимости от вида корней (простые или громоздкие), от их количества (один, два или бесконечное множество), а иногда и в зависимости от выбранного способа решения эти корни проверяются либо подстановкой в заданное уравнение, либо путем доказательство равносильности уравнений, получаемых на всех этапах решения, либо каким-то другим путем (с использованием области определения заданного уравнения, с обращением к промежуточным уравнениям и т.д.)

Решение иррациональных уравнений методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень

Пример 1. Решить уравнение
√(х-1) + √(2х+6) = 6. (1)
Решение: надо возвести обе части уравнения в квадрат:
Х – 1 + 2√((х-1)(2х+6)) + 2х + 6 = 26,
2√(2х^2+ 4х-6) = - 3х + 31.
После возведения в квадрат последнего уравнения получается:
8х2 + 16х – 24 = 9х2 – 16х + 961,
х2 – 202х + 985 = 0,
х1 = 5, х2 = 197.
Проверка: Найденные корни несложно проверить непосредственно подстановкой в уравнение (1).
√(х_1-1) + √(2х_1+6) = √(5-1) + √(2 ∙5+6) = 6 => х1 = 5 корень заданного уравнения.
√(х_2-1) + √(2х_2+6) = √(197-1) + √(2 ∙197+6) ≠ 6, т.е. х2 = 197 – посторонний корень.
Ответ:5
Замечание. Это уравнение можно решить и другим способом. Данное уравнение изменяется на вид: √(2х+6) = 6 - √(х-1).
Несложно подбором найти корень уравнения х = 5. Так как далее функция у = √(2х+6) возрастает, а функция у = 6 - √(х-1) убывает, то других корней уравнение не имеет.
Пример 2. Решить уравнение
√(х-2) + √(х-1) = √(2+х) . (2)
Решение: надо возвести обе части уравнения (2) в квадрат и упростить:
2√(х^2- 3х+2) = - х + 5. (3)
После возведения в квадрат обеих частей уравнения (3) и последующего приведения подобных членов получается квадратное уравнение:
3х2 – 2х – 17 = 0,
х1 = (1+ 2√13)/3 и х2 = (1- 2√13)/3.
Проверка: проверять найденные корни подстановкой в уравнение (2) нецелесообразно. Поступают следующим образом. Находят область определения уравнения (2). Из системы неравенств
х – 2 ≥ 0,
х – 1 > 0,
2 + х ≥ 0
получается, что этой областью является луч [2; ∞). Выясняют, принадлежат ли найденные корни этому лучу. Получается:
Х1 – 2 = (1+ 2√13)/3 - 2 = (1+ 2√13- 6)/3 = (√52- √25)/3 > 0.
Таким образом, х1 > 2, т.е. х1 принадлежит лучу [2; ∞), и, значит, х1 может являться корнем уравнения (2). Далее,
х2 – 2 = (1- 2√13)/3 - 2 = (1- 2√13- 6)/3 < 0.
Таким образом, х2 < 2, т.е. х2 не принадлежит [2; ∞), и, значит х2 не является корнем уравнения (2).
Далее надо вернуться к х1. Необходимо выяснить знак разности, находящейся в правой части уравнения (3). Получается:
- х1 + 5 = - (1+ 2√13)/3 + 5 = (-2√13+ 14)/3 > 0.
Таким образом, х1 является корнем уравнения (3). А так как уравнение (3) равносильно уравнению (2), то корнями уравнения (3) могут являться только корни уравнения (2).
Ответ: (1+ 2√13)/3.
Метод введения новых переменных
Пример 3. Решить уравнение
2х – 5 + 2√(х^(2 )– 5х) + 2√(х-5) + 2√х = 48 (4)
Решение: областью определения уравнения (4) является луч [5; ∞). В этой области выражение √(х^(2 )– 5х) представляется следующим образом:
√(х^(2 )– 5х) = √х √(х-5).
Так как 2х = х + х, то уравнение (4) дальше переписывается так:
х + х – 5 + 2√х √(х-5) + 2√(х-5) + 2√х - 48 = 0,
или
(√х)2 + 2√х √(х-5) + (√(х-5))2 + 2(√(х-5) + √х) – 48 = 0,
т.е.
(√(х-5) + √х)2 + 2(√(х-5) + √х) – 48 = 0.
Пусть у = √(х-5) + √х, тогда получается квадратное уравнение у2 + 2у – 48 = 0, из которого находятся корни у1 = 6, у2 = - 8. Таким образом, задача сводится к решению совокупности уравнений:
√(х-5) + √х = 6,
√(х-5) + √х - 8.
Из первого уравнения совокупности получается х = (41/12)^2, второе уравнение совокупности решений не имеет.
Проверка: легко показывается, что х = (41/12)^2, является корнем уравнения
√(х-5) + √х = 6.
Но это уравнение равносильно уравнению (4), значит, х = (41/12)^2 является корнем и уравнения (4).
Ответ: (41/12)^2.

Искусственные приемы решения иррациональных уравнений
Иногда при решении иррациональных уравнений оказывается удобным ввести две новые вспомогательные переменные.
Пример 3. Решить уравнение
√(〖2х〗^2+ 3х+5) + √(〖2х〗^2- 3х+5) = 3х. (5)
Решение: умножая обе части заданного уравнения на выражение
φ(х) = √(〖2х〗^2+ 3х+5) - √(〖2х〗^2- 3х+5) ,
сопряженное выражению √(〖2х〗^2+ 3х+5) + √(〖2х〗^2- 3х+5).
Так как
(√(〖2х〗^2+ 3х+5) + √(〖2х〗^2- 3х+5))( √(〖2х〗^2+ 3х+5) - √(〖2х〗^2- 3х+5)) =
= (〖2х〗^2+ 3х+5)- (〖2х〗^2- 3х+5) = 6х,
то уравнение (5) примет вид:
6х = 3х(√(〖2х〗^2+ 3х+5) - √(〖2х〗^2- 3х+5)),
или х (√(〖2х〗^2+ 3х+5) - √(〖2х〗^2- 3х+5) - 2) = 0.
Видно, что х1 = 0 является корнем этого уравнения. Остается решить уравнение
√(〖2х〗^2+ 3х+5) - √(〖2х〗^2- 3х+5) = 2. (6)
При сложении уравнений (5) и (6), получается уравнение
2√(〖2х〗^2+ 3х+5) = 3х + 2. (7)
Решая уравнение (7) методом возведения в квадрат, получается:
8х2 + 12х 20 = 9х2 + 12х + 4, и далее
х2 = 16, откуда х2 = 4, х3 = - 4.
Проверка: поочередно подставляя найденные значения х1 = 0, х2 = 4, х3 = - 4 в уравнение (5), выходит, что ему удовлетворяет только значение х2 = 4. Таким образом, х = 4 – единственный корень уравнения (5).
Ответ: 4.
Категория: Математика и геометрия | Добавил: Софи
Просмотров: 1226 | Загрузок: 0 | Рейтинг: 0.0/0
Другие материалы по теме:
Всего комментариев: 0
Добавлять комментарии могут только зарегистрированные пользователи.
[ Регистрация | Вход ]
Copyright 2010 © БОЛЬШАЯ ПЕРЕМЕНА