Воскресенье, 15:03 
Главная » »
Главная » Файлы » Публикации педагогов » Математика и геометрия

C3 Решение логарифмических неравенств методом рационализации
[ Скачать с сервера (114.8Kb) ] 13.08.2013, 15:20
При решении логарифмических неравенств с переменной в основании стандартным способом применяют переход к равносильной совокупности систем

Недостатком данного метода является необходимость решения семи неравенств, не считая двух систем и одной совокупности. Уже при данных квадратичных функциях решение совокупности может потребовать много времени.
Можно предложить альтернативный, менее трудоемкий способ решения этого стандартного неравенства.
При решении неравенств методом рационализации нужно знать следующие теоремы:
Теорема 1. Пусть непрерывная возрастающая функция на множестве X. Тогда на этом множестве знак приращения функции будет совпадать со знаком приращения аргумента, т.е. , где
Примечание: если непрерывная убывающая функция на множестве X, то
Вернемся к неравенству . Перейдем к десятичному логарифму (можно переходить к любому с постоянным основанием больше единицы).

Теперь можно воспользоваться теоремой, заметив в числителе приращение функций
и в знаменателе . Таким образом, верно


Терема 2.
Пусть на множестве X определены функции , , , и на этом множестве знаки и совпадают, т.е. , тогда будет справедливо .
В результате количество вычислений, приводящих к ответу, уменьшается примерно в два раза, что экономит не только время, но и позволяет потенциально сделать меньше арифметических ошибок и ошибок “по невнимательности”.

Пример 1.
.
Сравнивая с (1) находим , , .
Переходя к (2) будем иметь:
.
Пример 2.
.
Сравнивая с (1) находим , , .
Переходя к (2) будем иметь:


Пример 3.
.
Пример 4.


.
Поскольку левая часть неравенства – возрастающая функция при и , то ответом будет множество .
Множество примеров, в которых можно применять терему 1 может быть легко расширено, если учесть терему 2.

Пример 5.
.
При стандартном подходе пример решается по схеме: произведение меньше нуля, когда сомножители разных знаков. Т.е. рассматривается совокупность двух систем неравенств, в которых, как было указано в начале, каждое неравенство распадается еще на семь.
Если же учесть терему 2, то каждый из сомножителей, учитывая (2), можно заменить на другую функцию, имеющую тот же знак на данном примером О.Д.З.

Метод замены приращения функции приращением аргумента с учетом теоремы 2, оказывается очень удобным при решении типовых задач С3 ЕГЭ.
Пример 6.

Пример 7.


Пример 8.
. Обозначим . Получим

. Заметим, что из замены следует: . Возвращаясь к уравнению, получим .

Пример 9.

Пример 10.

Задачи для самостоятельного решения.
1. . Ответ: .
2. . Ответ: .
3. . Ответ:
4. . Ответ: .

В используемых нами теоремах нет ограничении на классы функций. В данной статье, для примера, теоремы были применены к решению логарифмических неравенств. Это метод можно применять при решении других видов неравенств.
Категория: Математика и геометрия | Добавил: 1111
Просмотров: 3445 | Загрузок: 275 | Рейтинг: 0.0/0
Другие материалы по теме:
Всего комментариев: 0
Добавлять комментарии могут только зарегистрированные пользователи.
[ Регистрация | Вход ]
Заказ документов
Copyright 2010 © БОЛЬШАЯ ПЕРЕМЕНА