Понедельник, 04:54 
Заказ документов

 Заочные научно-практические конференции Всероссийского и международного уровня

+

Одноименные конкурсы с выдачей диплома с призовым местом

1 работа - 3 документа

Публикация в сборнике ISBN, УДК, ББК, СМИ

Весь пакет документов (сертификат, диплом, свидетельство, публикация) 300 руб.!!!

 

 

Произвести заказ документа или задать вопрос можно здесь, оформление 10 минут после ответа оператора!
Главная » »
Главная » Файлы » Дистанционные курсы для педагогов и учащихся » Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей

Теоремы сложения и умножения вероятностей.
09.02.2013, 14:36
Основные теоремы теории вероятностей.
Этих теорем две:
• теорема сложения вероятностей;
• теорема умножения вероятностей.
Введем понятие о сумме событий и произведении событий.
Определение: Суммой двух событий А и В называется событие С состоящее в появлении хотя бы одного из событий А и В. Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий.
Геометрическая интерпретация:


Определение: Произведением двух событий А и В называется событие С, состоящее в совместном выполнении события А и В. Произведением нескольких событий называется событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.
Геометрическая интерпретация:


Теорема сложения вероятностей
Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: Р(А+В) = Р(А) + Р(В) (1)
Следствия вытекающие из теоремы сложения вероятностей:
Следствие 1:Противоположными событиями называются два несовместных события, образующих полную группу. Событие противоположное событию А принято обозначать A.
Пример:
Событие А – безотказная работа всех элементов технической системы; A – отказ хотя бы одного элемента.
Следствие 2: Сумма вероятностей противоположных событий равна единице: P(A) + P(A) =1
Вероятность суммы двух совместных событий выражается формулой:
Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – P(AB)
Аналогично вероятность суммы трех совместных событий вычисляется по формуле:
Р(А+В+С) = Р(А) + Р(В) + Р(С) – P(AB) – P(AС) – P(ВС) + Р(АВС)
Можно записать аналогичную формулу для произведения событий
P(AB) = Р(А) + Р(В) – Р(А+В)
Р(АВС) = Р(А) + Р(В) + Р(С) – P(A+B) – P(A+С) – P(В+С) + Р(А+В+С)
Решим задачи:
Пример1. Найти вероятность суммы противоположных событий.
Решение: События А и А несовместны, следовательно Р( А +А ) = Р(А) + Р( А). Сумма двух противоположных событий есть событие достоверное, поэтому Р( А +А )= 1. Тогда Р(А) + Р( А ) =1. Отсюда следует :
Р( А) = 1 - Р(А).
Пример2. В урне 3 красных, 5 синих и 2 белых шара. Наудачу вынимают один шар. Какова вероятность того, что шар окажется цветным?
Решение:
Пусть событие А- вынут синий шар, событие В- красный шар. Эти события несовместны. Интересующее событие- вынут цветной шар, означает, что вынут красный или синий, т.е. событие А+В. используем теорему о сумме несовместных событий Р(А+В)=Р(А)+Р(В). вычислим вероятности событий А и В:
Р(А)=5/10=1/2; Р(В)=3/10. Тогда искомая вероятность равна Р(А+В) = 1/2+3/10= 8/10=0,8.
Теорема умножения вероятностей
Введем понятие независимые и зависимые события.
Событие А называется независимым от события В, если вероятность события А не зависит от того, произошло событие В или нет. Например,
а) Два спортсмена стреляют по мишени. Событие А- попал первый стрелок, вероятность появления этого события Р(А) , В- попал второй стрелок, вероятность Р(В). Появление или не появление события, например, А не повлияет на вероятность появления события В.
б) Бросают два одинаковых кубика. Событие С- выпало 2 очка на первом кубике, вероятность этого события Р(С). Событие Д- 3 очка на втором кубике, вероятность - Р(Д). Появление события Д не повлияет на вероятность появления события С.
Событие А называют зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет.
Вероятность события А, вычисленная при условии, что имело место другое событие В, называется условной вероятностью события А и обозначается Р (А/В)
Пример:
В урне два белых и один черный. Два лица вынимают из урны по одному шару. Рассматриваются события: А- появление белого шара у 1-го лица; В – появление белого шара у 2-го лица.
Решение: Р(А) до того как произошло событие В равно 2/3. Если событие В произошло, то Р(А)=1/2. Таким образом, событие А зависит от события В.
Условие независимости события А от события В можно записать в виде: Р(А/В) = P(A), а условие зависимости: Р(А/В) ≠ P(A)
Теорема умножения: Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности Р(АВ) = P(A)×Р(В/А)
Вероятность произведения нескольких событий равна произведению вероятностей этих событий, причем вероятность каждого следующего по порядку события вычисляется при условии, что все предыдущие имели место.
Следствие1: Если событие А не зависит от события В, то и событие В не зависит от события А
Следствие2: Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий P(AВ) = P(А)×Р(В)
Решим задачи.
Пример1. По мишени стреляют три стрелка. Вероятности попадания соответственно равны 0,7; 0,8 и 0,9. Найти вероятность того, что попадут все три.
Решение:
Пусть событие А- попал 1-й, В- 2-й и С-3-й. Эти события независимые, тогда применяя соответствующую теорему получим, что вероятность совместного появления всех трех событий равна: Р(АВС)=Р(А)Р(В)Р(С)= 0,7•0,8•0,9=0,504.
Пример2. В урне находятся 3 белых, 2 черных и 4 синих шара. Какова вероятность того, что первым будет вынут белый шар, вторым- синий, третьим- черный. Шары не возвращаются.
Решение: Пусть события: А- вынут белый шар, В- вынут синий, С- черный. Вероятность, что первым вынут белый равна

Событие В происходит после события А, при этом условия меняются- общее количество шаров уменьшилось и стало равно 8, поэтому события А и В зависимые и речь идет об условной вероятности события В: РА(В)=4/8=1/2. Событие С происходит после событий А и В , поэтому вероятность его тоже условная РАВ(С)=2/7. Вероятность же их совместного появления :

Иногда, для решения задач применяют обе теоремы теории вероятностей. Например:
Пример 1. В посевах пшеницы на поле 95% здоровых растений. Берут любые два растения. Найти вероятность того, что хотя бы одно из них здоровое.
Решение:
Пусть событие- здорово первое растение - А, здорово второе растение - В. Тогда событие- здорово хотя бы одно из них, т. е. А или В- А+В. События А и В совместны, следовательно применим теорему о сумме двух совместных событий Р(А+В)= Р(А)+Р(В)-Р(АВ). Вероятность того, что растение здорово равна 0,95 и одинакова для обоих растений. Вероятность Р(АВ) вычислим по теореме о произведении двух независимых событий, т.е. Р(АВ)=Р(А)Р(В). получим:

Пример 2. По мишени стреляют три стрелка. Вероятности попадания соответственно равны 0,7; 0,8 и 0,9. Найти вероятность того, что попадут какие – либо два стрелка.
Решение: Пусть события А- попал 1-ый стрелок, В – попал 2- ой, С – попал 3- ий. События независимые . Событие D– попадут только два стрелка выразим через А, В и С:

Применяя теоремы умножения независимых событий и сложения несовместных событий получим:

Вероятность наступления хотя бы одного из нескольких попарно независимых событий.
При решении некоторых задач событие, вероятность которого необходимо найти, приходится представлять в виде суммы нескольких событий. Это представление может быть громоздким. В этом случае имеет смысл воспользоваться вычислением вероятности противоположного события. Рассмотрим пример.
Три станка работают независимо. Вероятность поломки каждого из них соответственно равна 0,1; 0,2; 0,3. Найти вероятность того, что хотя бы один станок выйдет из строя.
Пусть событие- поломка 1-го станка -А; поломка 2-го- В, поломка 3-го- С. Тогда событие D - поломка хотя бы одного (одного или двух, или трех) запишется следующим образом:

Вычислять вероятность по полученному представлению неудобно из-за большого количества вычислений. Составим противоположное событие событию D. Итак , D - исправны все три станка. Это событие представим в виде произведения- А В С.
Применим теорему о произведении независимых событий, тогда:

Вероятность события D будет равна:

Обобщим результаты задачи в виде теоремы:
Вероятность появления хотя бы одного из событий А1, А2,…,Аn независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий, т.е.
Категория: Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей | Добавил: тан71
Просмотров: 3373 | Загрузок: 5 | Рейтинг: 5.0/1
Всего комментариев: 0
Добавлять комментарии могут только зарегистрированные пользователи.
[ Регистрация | Вход ]
Copyright 2010 © БОЛЬШАЯ ПЕРЕМЕНА