Понедельник, 11:58 
Заказ документов

 Заочные научно-практические конференции Всероссийского и международного уровня

+

Одноименные конкурсы с выдачей диплома с призовым местом

1 работа - 3 документа

Публикация в сборнике ISBN, УДК, ББК, СМИ

Весь пакет документов (сертификат, диплом, свидетельство, публикация) 300 руб.!!!

 

 

Произвести заказ документа или задать вопрос можно здесь, оформление 10 минут после ответа оператора!
Главная » »
Главная » Файлы » Дистанционные курсы для педагогов и учащихся » Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей

Статистические характеристики: среднее арифметическое, размах, мода, медиана.
09.02.2013, 14:41
Статистические характеристики.
Среднее арифметическое, размах и мода.
Задание 1. Выделили группу из 12 семиклассников. Их попросили отметить в определенный день время (в минутах), затраченное на выполнение домашнего задания по алгебре. Получили: 23, 18, 25, 20, 25, 25, 32, 37, 34, 26, 34, 25. Определите, сколько минут в среднем затратили учащиеся на выполнение домашнего задания по алгебре?
Для этого указанные числа надо сложить и сумму разделить на 12. Получим число 27. Число 27 называют средним арифметическим рассматриваемого ряда чисел.
Определение. Средним арифметическим ряда чисел называется частное от деления суммы этих чисел на число слагаемых.
Мы нашли, что на выполнение домашнего задания по алгебре учащиеся затратили в среднем по 27 минут. Можно проследить, какова была средняя затрата времени на выполнение домашнего задания по алгебре в течение недели, сравнить среднюю затрату времени на выполнение в какой- либо день домашних заданий по алгебре и русскому языку и т. п.
Обычно среднее арифметическое находят тогда, когда хотят определить среднее значение для некоторого ряда данных: среднюю урожайность пшеницы с 1 га в районе, средний суточный удой молока от одной коровы на ферме, среднюю выработку одного рабочего бригады за смену и т. п. Среднее арифметическое находят только для однородных величин. Не имеет смысла, например, сравнивать среднюю урожайность зерновых и бахчевых культур в фермерском хозяйстве. Причем и для однородных величин вычисление среднего арифметического бывает иногда лишено смысла, например, нахождение средней температуры больных в госпитале, среднего размера обуви, которую носят учащиеся школы и т. д.
В рассмотренном примере мы нашли, что в среднем учащиеся затратили на выполнение домашнего задания по алгебре по 27 минут. Однако анализ приведенного ряда показывает, что время, затраченное некоторыми учащимися, существенно отличается от 27 минут, т. е. от среднего арифметического. Наибольший расход равен 37 минут, а наименьший -18 минут. Разность между наибольшим и наименьшим расходом времени составляет 19 минут. В этом случае говорят, что размах ряда равен 19.
Определение. Размахом ряда чисел называется разность между наибольшим и наименьшим из этих чисел.
Размах ряда находят тогда, когда хотят определить, как велик разброс данных в ряду. Пусть, например, в течение суток отмечали каждый час температуру воздуха в городе. Для полученного ряда данных полезно не только вычислить среднее арифметическое, показывающее, какова среднесуточная температура, но и найти размах ряда, характеризующий колебание температуры воздуха в течение суток.
При анализе сведений о времени, затраченном семиклассниками на выполнение домашнего задания по алгебре интересно, например, знать, какой расход времени является типичным для выделенной группы учащихся, т. е. какое число встречается в ряду данных чаще всего. Нетрудно заметить, что таким числом является число 25.Говорят, что число 25 – мода рассматриваемого ряда.
Определение. Модой ряда называется число, наиболее часто встречающееся в данном ряду.
Ряд чисел может иметь более одной моды или не иметь моды совсем.
Например, в ряду чисел 47, 46, 50,47, 52, 49, 45, 43, 53 две моды – это числа 47 и 52., а в ряду чисел 69, 68, 66, 70, 67, 71, 74, 63, 73, 72 моды нет.
Моду ряда данных обычно находят тогда, когда хотят выявить некоторый типичный показатель. Например, если изучаются данные о размерах мужских сорочек, проданных в определенный день в универмаге, то удобно воспользоваться таким показателем, как мода, который характеризует размер, пользующийся наибольшим спросом. Находить при этом среднее арифметическое не имеет смысла. Мода является наиболее приемлемым показателем при выявлении расфасовки некоторого товара, которой отдают предпочтение покупатели, цены на товар данного вида, распространенной на рынке, и т. п.
Задание 2. Проведя учет деталей, изготовленных за смену рабочими одной бригады, получили такой ряд данных: 36, 35, 35, 36, 37, 37, 36, 37, 38, 36, 36, 36, 39, 39, 37, 39, 38, 38, 36, 39,36. Найдем для него среднее арифметическое, размах и моду.
1). Составим упорядоченный ряд из этих чисел (в котором каждое последующее число не меньше предыдущего): 35, 35, 36,36, 36, 36, 36, 36, 36., 36, 37, 37, 37, 37, 38, 38, 38, 39, 39, 39, 39.
2).Вычислим среднее арифметическое: = 37.
3).Размах ряда равен 39 – 35 = 4.
4).Мода данного ряда равна 36, так как число 36 чаще всего встречается в этом ряду.
Ответ: средняя выработка рабочих за смену составляет примерно 37 деталей; различие в выработке рабочих не превосходит 4 деталей; типичной является выработка, равная 36 деталям.
Заметим, что среднее арифметическое ряда чисел может не совпадать ни с одним из этих чисел, а мода, если она существует, обязательно совпадает с двумя или более числами ряда. Понятие «мода» относится не только к числовым данным. Например, проводя опрос учащихся, можно получить ряд данных, показывающий, каким видом спорта они предпочитают заниматься, какую из развлекательных телевизионных программ они считают наиболее интересной. Модой будут служить те ответы, которые встречаются чаще всего.
Такие характеристики, как среднее арифметическое, размах и мода, находят применение в статистике – науке, которая занимается получением, обработкой и анализом количественных данных о разнообразных массовых явлениях, происходящих в природе и обществе. Слово «статистика» происходит от латинского слова statius, которое означает «состояние, положение вещей». Статистика изучает численность отдельных групп населения страны и ее регионов, производство и потребление разнообразных видов продукции, перевозку грузов и пассажиров различными видами транспорта, природные ресурсы и т. п. Результаты статистических исследований широко используются для практических и научных выводов.
1. Практические упражнения.
1). Найдите среднее арифметическое и размах ряда чисел:
а) 30, 5, 23, 5, 28, 30.
б) 144, 146, 114, 138.
2). Найдите среднее арифметическое, размах и моду ряда чисел:
а) 67,1, 68,2, 67,1, 70,4, 68,2.
б) 0,6, 0.8, 0.5, 0,9, 1,1.
3). Найдите среднее арифметическое, размах и моду ряда чисел:
а) 61, 64, 64, 83, 61, 71, 70.
б) – 4, - 6, 0, 4, 0, 6, 8, - 12.
4). Как могут измениться размах и мода ряда чисел, если:
а) дополнить его числом, превосходящим все остальные;
б) вычеркнуть из него число, меньшее всех остальных;
в) дополнить его числом, равным наибольшему из чисел?
5). В таблице приведены данные о продаже в течение недели картофеля, завезенного в овощную палатку:
День недели Пн. Вт. Ср. Чт. Пт. Сб. Вс.
Количество картофеля, кг 275 286 250 290 296 315 325
Сколько картофеля в среднем продавали ежедневно в эту неделю?
Ответ: 291 кг.
6). Среднее арифметическое ряда, состоящего из девяти чисел, равно 13. Из этого ряда вычеркнули число 3. Чему равно среднее арифметическое нового ряда чисел? Ответ: 14,25.
Дисперсия
1. Лекция: введение понятия «дисперсия».
Наиболее полной характеристикой разброса чисел является набор их отклонений от среднего арифметического. Но когда набор чисел велик, рассматривать набор отклонений практически неудобно. Нужно описать разнообразие чисел в наборе одной характеристикой, одним числом.
Размах – это слишком грубая мера разброса чисел в наборе, т. к. учитывает только два из них – наибольшее и наименьшее. Можно попробовать взять «среднее отклонение». Но сумма отклонений всегда равна нулю, поэтому среднее арифметическое отклонений тоже равно нулю и его нельзя использовать как меру разброса.
Чтобы судить о разбросе, принято складывать не сами отклонения, а их квадраты. Квадраты отклонений неотрицательны, поэтому сумма квадратов отклонений зависит только от абсолютных величин отклонений, а не от их знаков. Чем больше отклонения чисел от среднего арифметического, тем больше будет сумма квадратов отклонений. Для того чтобы мера разброса чисел не зависела от их количества в наборе, в качестве такой меры берут среднее арифметическое квадратов отклонений. Эту величину называют дисперсией.
Определение. Среднее арифметическое квадратов отклонений от среднего значения называется в статистике дисперсией набора чисел.
Пример 1. Таблица производства пшеницы в России в 1995 – 2001 годах:
Год 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001
Производство, млн. тонн 30,1 34,9 44,3 27,0 31,0 34,5 47,0
Среднее производство пшеницы за период 1995 – 2001 г.г. составило 35,5 млн. тонн. Вычислим дисперсию. Составим таблицу, разместив данные по производству не в строке, а в столбце. Вычислим отклонения от среднего и их квадраты. Полученные числа занесем в два новых столбца:
Год Производство Отклонение о среднего Квадрат отклонения
1995 30,1 - 5,4 29,16
1996 34,9 - 0,6 0,36
1997 44,3 8,8 77,44
1998 27,0 - 8,5 72,25
1999 31,0 - 4,5 20,25
2000 34,5 - 1,0 1,00
2001 47,0 11,5 132,25
Для расчета дисперсии следует сложить все значения в столбце «Квадрат отклонения» и разделить на количество слагаемых:
(29,16 + 0,36 + 77,44 + 72,25 + 20,25 + 1,00 + 132,25 ) : 7 = 47,53.
Пример 2. (показывает, как дисперсия характеризует разброс наблюдений). Возьмем два набора чисел: 1, 2, 3 и 0, 2, 4. Среднее арифметическое значение обоих наборов равно 2. Для обоих наборов вычислим отклонения и квадраты отклонений и все данные занесем в таблицу:
1-й набор Отклонение от среднего Квадрат отклонения 2-й набор Отклонение от среднего Квадрат отклонения
1 - 1 1 0 - 2 4
2 0 0 2 0 0
3 1 1 4 2 4
Дисперсия первого набора: (1 + 0 + 1): 3 = .
Дисперсия второго набора: (4 + 0 + 4): 3 = 2 .
Числа в первом наборе расположены более кучно – ближе друг к другу и к своему среднему, чем числа во втором наборе. Поэтому дисперсия первого набора получилась меньше, чем второго.
Пример 3. Континентальный климат отличается от умеренного более резкими изменениями температуры в течение года. В районах с континентальным климатом жаркое лето и очень холодная зима. С помощью дисперсии различия между двумя видами климата можно выразить количественно.
Сравним для примера изменение температур в течение года в Москве и Киеве, где климат умеренный, с изменением температур в Новосибирске и Хабаровске, где климат континентальный. В таблице приведены средние месячные температуры за 80 лет в Москве, Киеве, Новосибирске и Хабаровске:
Месяцы Москва Киев Новосибирск Хабаровск
1 - 9,3 - 5,9 - 19,0 - 22,3
2 - 8,6 - 5,2 - 17,2 - 17,2
3 - 3,4 - 0,4 - 10,7 - 8,5
4 5,1 7,5 - 0,1 3,1
5 12,4 14,7 10,0 11,1
6 16,7 17,8 16,3 17,4
7 18,4 19,8 18,7 21,1
8 16,6 18,7 16,0 20,0
9 10,9 13,9 9,9 13,9
10 4,4 7,5 1,5 4,7
11 - 2,0 1,2 - 9,7 - 8,1
12 - 6,8 - 3,5 - 16,9 - 18,5
Среднее за год 4,5 6,0 - 0,1 - 1,4
Дисперсия 98,9 86,5 185,2 228,8
Дисперсии этих четырех рядов чисел различны. Для Москвы и Киева это 98,9 и 86,5, для Новосибирска и Хабаровска это 185,2 и 228,8. Мы видим, что дисперсии очень сильно отличаются.
2. Практические упражнения
1). Для данных чисел вычислите среднее значение. Составьте таблицу отклонений от среднего и квадратов отклонений от среднего и вычислите дисперсию: а) – 2, - 1, 1, 2, 5; б) – 1, - 3, - 2, 3, 3.
2). Даны два набора чисел. Отметьте их на числовой прямой. Вычислите дисперсию каждого набора. Дисперсия какого набора больше?
2, 3, 4, 7 и 1, 5, 6, 8.
3). Даны два набора чисел. Отметьте их на числовой прямой. Вычислите дисперсию каждого из этих наборов. Сравните дисперсии:
3, 5, 7, 9 и 12, 14, 16, 18.

Понятие медианы.
Номер квартиры 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Расход электроэнергии, кВт*ч 85 64 78 93 72 91 72 75 82
Пример 1 . В таблице показан расход электроэнергии в январе жильцами девяти квартир:
Составим из данных, приведенных в таблице, упорядоченный ряд:
64, 72, 72, 75, 78, 82, 85, 91, 93.
В середине ряда расположено число 78: слева от него записано 4 числа и справа тоже 4 числа. Говорят, что число 78 является серединным числом, или, медианой, рассматриваемого упорядоченного ряда чисел. Это число считают также медианой исходного ряда данных.
Пример 2. В таблице показан расход электроэнергии в январе жильцами десяти квартир:
Номер квартиры 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Расход электроэнергии, кВт*ч 85 64 78 93 72 91 72 75 82 88
Составим из данных, приведенных в таблице, упорядоченный ряд:
64, 72, 72, 75, 78, 82, 85, 88, 91, 93.
Имеются два числа, расположенные в середине ряда: 78 и 82. Найдем среднее арифметическое этих чисел: = 80. Число 80, не являясь членом ряда, разбивает этот ряд на две одинаковые по численности группы: слева от него находится 5 членов ряда и справа тоже 5 членов ряда:
64, 72, 72, 75, 78, 80, 82, 85, 88, 91, 93.
Говорят, что в этом случае медианой рассматриваемого упорядоченного ряда, а также исходного ряда данных, записанного в таблице, является число 80.
Определение. Медианой упорядоченного ряда чисел с нечетным числом членов называется число, записанное посередине, а медианой упорядоченного ряда с четным числом членов называется среднее арифметическое двух чисел, записанных посередине.
Медианой произвольного ряда чисел называется медиана соответствующего упорядоченного ряда.
Если в упорядоченном числовом ряду содержится 2n- 1 членов, то медианой ряда является n-й член, т. к. n - 1 членов стоит до n-го члена и n - 1 членов – после n-го члена. Если в упорядоченном числовом ряду содержится 2n членов, то медианой является среднее арифметическое членов, стоящих на n-м и n + 1 местах.
В каждом из рассмотренных примеров, определив медиану, мы можем указать номера квартир, для которых расход электроэнергии жильцами превосходит срединное значение, т. е. медиану.
Пример 3. Известно, что 34 сотрудника отдела приобрели акции некоторого акционерного общества. Данные о числе акций, приобретенных сотрудниками, представлены в виде следующего упорядоченного ряда:
2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, …, 3, 4, 4, …, 4, 100.
12 раз 16 раз
Найдем медиану этого ряда. Так как в ряду всего 34 числа, то медиана равна среднему арифметическому 17 –го и 18 –го членов, т. е. равна (3 + 4) : 2 = 3,5.
Вычисляя среднее арифметическое этого ряда, найдем, что оно 6,2, т. е. в среднем сотрудники отдела приобрели примерно по 6 акций. Мы видим, что в данном случае медиана лучше отражает реальную ситуацию, т. к. все сотрудники, кроме одного, приобрели не более 4 акций.
Такие показатели, как среднее арифметическое, мода и медиана, по-разному характеризуют данные, полученные в результаты наблюдений, поэтому на практике при анализе данных в зависимости от конкретной ситуации используют либо все три показателя, либо некоторые из них.
Если, например, анализируются сведения о годовых доходах нескольких туристических фирм города, то удобно использовать все три показателя. Среднее арифметическое покажет средний годовой доход фирмы, мода будет характеризовать типичный показатель годового дохода, медиана позволит определить туристические фирмы, годовой доход которых ниже среднего показателя.
Если изучаются данные о размерах мужской обуви, проданной в определенный день в универмаге, то удобно воспользоваться модой, которая характеризует размер, пользующийся наибольшим спросом. Находить в этом случае среднее арифметическое и медиану не имеет смысла.
При анализе результатов, показанных участниками заплыва на дистанцию 100 м, наиболее приемлемой характеристикой является медиана. Знание медианы позволит выделить для участия в соревнованиях группу спортсменов, показавших результат выше среднего.
1. Практические упражнения
1) Найдите медиану ряда чисел: а) 16, 18, 20, 22, 24, 26.
б) 1,2, 1,4, 2,2, 2,6, 3,2, 3,8, 4,4, 5,6.
2) Найдите среднее арифметическое и медиану ряда чисел:
1 вариант : а) 27, 29, 23, 31, 21, 34;
б) 3,8, 7,2, 6,4, 6,8, 7,2.
3) Известно, что ряд данных состоит из натуральных чисел. Может ли для этого ряда быть дробным числом: а) среднее арифметическое; б) размах; в) мода; г) медиана?
4) В таблице показано число посетителей выставки в разные дни недели:
День недели Пн Вт Ср Чт Пт Сб Вс
Число посетителей 604 638 615 636 625 710 724
Найдите медиану указанного ряда данных. В какие дни недели число посетителей выставки было больше медианы?
5) В таблице показано, сколько акций одинаковой стоимости некоторого акционерного общества приобрели сотрудники отдела:
№ п/п Фамилия Число акций № п/п Фамилия Число акций
1 Астахова 5 9 Муравьев 1
2 Бодров 4 10 Николаева 4
3 Волков 10 11 Осипов 12
4 Ерин 3 12 Павлов 6
5 Ильин 2 13 Петрова 8
6 Куликова 10 14 Райков 10
7 Лаврова 25 15 Тимофеев 2
8 Михайлов 3 16 Федоров 4
Найдите медиану этого ряда данных. У кого из сотрудников отдела число приобретенных акций превосходит медиану?
Категория: Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей | Добавил: тан71
Просмотров: 11016 | Загрузок: 4 | Рейтинг: 3.5/2
Всего комментариев: 0
Добавлять комментарии могут только зарегистрированные пользователи.
[ Регистрация | Вход ]
Copyright 2010 © БОЛЬШАЯ ПЕРЕМЕНА